X B Moving Average

Filtros FIR, filtros IIR e equação de diferença de coeficientes constantes lineares Filtros de média móvel causal (FIR) Nós discutimos sistemas em que cada amostra da saída é uma soma ponderada de (algumas das) amostras da entrada. Vamos tomar um sistema de soma ponderada causal, onde causal significa que uma dada amostra de saída depende apenas da amostra de entrada atual e outros insumos mais cedo na seqüência. Nem os sistemas lineares em geral, nem os sistemas finitos de resposta ao impulso em particular, precisam ser causais. No entanto, a causalidade é conveniente para um tipo de análise que iria explorar em breve. Se simbolizamos as entradas como valores de um vetor x. E as saídas como valores correspondentes de um vetor y. Então tal sistema pode ser escrito como onde os valores de b são quotweights aplicados às amostras de entrada atuais e anteriores para obter a amostra de saída atual. Podemos pensar na expressão como uma equação, com o sinal de igual signo igual a, ou como uma instrução processual, com o sinal de igual significação atribuição. Vamos escrever a expressão para cada amostra de saída como um loop MATLAB de instruções de atribuição, onde x é um vetor N-comprimento de amostras de entrada, e b é um vetor M-comprimento de pesos. A fim de lidar com o caso especial no início, vamos incorporar x em um vetor mais longo xhat cujas primeiras M-1 amostras são zero. Vamos escrever a soma ponderada para cada y (n) como um produto interno, e faremos algumas manipulações das entradas (como inverter b) para este fim. Esse tipo de sistema é muitas vezes chamado de filtro de média móvel, por razões óbvias. De nossas discussões anteriores, deve ser óbvio que tal sistema é linear e invariante ao deslocamento. Claro, seria muito mais rápido usar a convolução de função MATLAB conv () em vez do nosso mafilt (). Em vez de considerar as primeiras M-1 amostras da entrada de ser zero, poderíamos considerá-los a ser o mesmo que as últimas M-1 amostras. Isso é o mesmo que tratar a entrada como periódica. Bem, use cmafilt () como o nome da função, uma pequena modificação da função mafilt () anterior. Na determinação da resposta de impulso de um sistema, não há geralmente nenhuma diferença entre estes dois, desde que todas as amostras não-iniciais da entrada são zero: Uma vez que um sistema deste tipo é linear e shift-invariante, sabemos que seu efeito em qualquer Sinusoid será apenas a escala e deslocá-lo. Aqui é importante que usemos a versão circular A versão circularmente convoluta é deslocada e escalada um pouco, enquanto a versão com convolução ordinária é distorcida no início. Vamos ver o que a escala exata e deslocamento é usando um fft: Tanto a entrada ea saída têm amplitude apenas nas freqüências 1 e -1, que é como deveria ser, uma vez que a entrada era uma sinusoid eo sistema era linear. Os valores de saída são maiores em uma proporção de 10,6251 / 8 1,3281. Este é o ganho do sistema. E quanto à fase Nós só precisamos olhar onde a amplitude é diferente de zero: A entrada tem uma fase de pi / 2, como nós pedimos. A fase de saída é deslocada por um 1,0594 adicional (com sinal oposto para a freqüência negativa), ou cerca de 1/6 de um ciclo à direita, como podemos ver no gráfico. Agora vamos tentar uma sinusoid com a mesma freqüência (1), mas em vez de amplitude 1 e fase pi / 2, vamos tentar amplitude 1,5 e fase 0. Sabemos que apenas a freqüência 1 e -1 terá amplitude não-zero, então vamos Basta olhar para eles: Novamente a relação de amplitude (15.9377 / 12.0000) é 1.3281 - e quanto à fase é novamente deslocado por 1.0594 Se esses exemplos são típicos, podemos prever o efeito do nosso sistema (resposta ao impulso .1.2 .3 .4 .5) em qualquer sinusoide com frequência 1 - a amplitude será aumentada em um fator de 1,3281 e a fase (freqüência positiva) será deslocada em 1,0594. Poderíamos continuar a calcular o efeito desse sistema sobre sinusóides de outras freqüências pelos mesmos métodos. Mas há uma maneira muito mais simples, e uma que estabelece o ponto geral. Dado que a circunvolução (circular) no domínio do tempo significa a multiplicação no domínio da frequência, daí decorre que, por outras palavras, a DFT da resposta ao impulso é a razão da DFT da saída para a DFT da entrada. Nesta relação os coeficientes de DFT são números complexos. Desde abs (c1 / c2) abs (c1) / abs (c2) para todos os números complexos c1, c2, esta equação nos diz que o espectro de amplitude da resposta de impulso será sempre a relação do espectro de amplitude da saída para que Da entrada. No caso do espectro de fase, ângulo (c1 / c2) ângulo (c1) - ângulo (c2) para todos os c1, c2 (com a ressalva de que as fases que diferem por n2pi são considerados iguais). Portanto, o espectro de fase da resposta ao impulso será sempre a diferença entre os espectros de fase da saída e da entrada (com quaisquer correções de 2pi são necessárias para manter o resultado entre - pi e pi). Podemos ver os efeitos de fase mais claramente se desempacotar a representação da fase, isto é, se adicionarmos vários múltiplos de 2pi conforme necessário para minimizar os saltos que são produzidos pela natureza periódica da função ângulo (). Embora a amplitude e a fase sejam normalmente utilizadas para apresentação gráfica e mesmo tabular, uma vez que são uma maneira intuitiva de pensar sobre os efeitos de um sistema sobre os vários componentes de frequência de sua entrada, os coeficientes de Fourier complexos são mais úteis algébricamente, A expressão simples da relação A abordagem geral que acabamos de ver funcionará com filtros arbitrários do tipo esboçado, em que cada amostra de saída é uma soma ponderada de algum conjunto de amostras de entrada. Como mencionado anteriormente, estes são freqüentemente chamados filtros de resposta de impulso finito, porque a resposta ao impulso é de tamanho finito, ou às vezes filtros de média móvel. Podemos determinar as características de resposta de freqüência de tal filtro da FFT de sua resposta de impulso e também podemos projetar novos filtros com características desejadas por IFFT a partir de uma especificação da resposta de freqüência. Filtros Autoregressivos (IIR) Não haveria nenhum ponto em ter nomes para filtros FIR a menos que houvesse algum outro tipo de distinção, de modo que aqueles que estudaram pragmática não ficarão surpresos ao saber que existe de fato outro tipo principal Do filtro tempo-invariante linear. Estes filtros são às vezes chamados recursivos porque o valor das saídas anteriores (assim como entradas anteriores) importa, embora os algoritmos sejam geralmente escritos usando construções iterativas. Eles também são chamados filtros Infinite Impulse Response (IIR), porque em geral sua resposta a um impulso continua para sempre. Eles também são às vezes chamados de filtros auto-regressivos, porque os coeficientes podem ser considerados como o resultado de fazer uma regressão linear para expressar valores de sinal em função de valores de sinal anteriores. A relação dos filtros FIR e IIR pode ser vista claramente numa equação de diferença de coeficiente constante linear, isto é, estabelecendo uma soma ponderada de saídas igual a uma soma ponderada de entradas. Isto é como a equação que damos anteriormente para o filtro causal FIR, exceto que, além da soma ponderada de insumos, também temos uma soma ponderada de saídas. Se quisermos pensar nisso como um procedimento para gerar amostras de saída, precisamos reorganizar a equação para obter uma expressão para a amostra de saída corrente y (n), Adotando a convenção de que a (1) 1 (por exemplo, escalando outros como E bs), podemos nos livrar do termo 1 / a (1): y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). B (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - a (Na1) y (n-na) Se todos os a (n) diferentes de a (1) são zero, isso reduz a nosso velho amigo o filtro FIR causal. Este é o caso geral de um filtro (causal) LTI, e é implementado pelo filtro de função MATLAB. Vejamos o caso em que os coeficientes b diferentes de b (1) são zero (em vez do caso FIR, onde a (n) são zero): Neste caso, a amostra de saída corrente y (n) é calculada como um (N-1), y (n-2), etc. Para ter uma idéia do que acontece com esses filtros, vamos começar com o caso em que: Ou seja, a amostra de saída atual é a soma da amostra de entrada atual e metade da amostra de saída anterior. Bem, tome um impulso de entrada através de alguns passos de tempo, um de cada vez. Deve ficar claro neste ponto que podemos facilmente escrever uma expressão para o n-ésimo valor de amostra de saída: é apenas (se MATLAB contado a partir de 0, isso seria simplesmente .5n). Como o que estamos calculando é a resposta ao impulso do sistema, demonstrámos por exemplo que a resposta ao impulso pode de fato ter infinitas amostras diferentes de zero. Para implementar esse filtro trivial de primeira ordem no MATLAB, poderíamos usar o filtro. A chamada será assim: eo resultado é: Este negócio é realmente ainda linear Podemos olhar para isto empiricamente: Para uma abordagem mais geral, considere o valor de uma amostra de saída y (n). Por substituição sucessiva poderíamos escrever isto como Isto é exatamente como nosso velho amigo a forma convolução-soma de um filtro FIR, com a resposta de impulso fornecida pela expressão .5k. E o comprimento da resposta ao impulso é infinito. Assim, os mesmos argumentos que usamos para mostrar que os filtros FIR eram lineares agora se aplicam aqui. Até agora isso pode parecer um monte de barulho por não muito. O que é toda esta linha de investigação bom para Bem responder esta questão em etapas, começando com um exemplo. Não é uma grande surpresa que possamos calcular uma amostra exponencial por multiplicação recursiva. Vamos olhar para um filtro recursivo que faz algo menos óbvio. Este tempo bem torná-lo um filtro de segunda ordem, de modo que a chamada para filtro será da forma Permite definir o segundo coeficiente de saída a2 para -2cos (2pi / 40), eo terceiro coeficiente de saída a3 para 1, e olhar para A resposta ao impulso. Não muito útil como um filtro, na verdade, mas ele gera uma onda senoidal amostrada (de um impulso) com três multiplicações por amostra. Para entender como e por que ele faz isso, e como os filtros recursivos podem ser projetados e analisados ​​em O caso mais geral, precisamos dar um passo atrás e dar uma olhada em algumas outras propriedades de números complexos, no caminho para a compreensão da transformada z.